CONTEXT   0  79   0   0  60

Nhradn znaky v editoru KONTEXT:

 (makro Alt-V) .... "Pro kad prvek..." obrcen A
 (makro Alt-E) .... "Existuje prvek..." obrcen E
 (makro Alt-W) .... prvek z mnoiny
 (makro Alt-=) .... nerovn se (krtnut rovn se)
 (makro Alt-A) .... logick AND (konjunkce, souin)
 (makro Alt-O) .... logick OR (disjunkce, souet)
 (makro Alt-X) .... logick XOR (disjunkce vyluovac, vhradn souet)
 (makro Alt-I) .... implikace
 (makro Alt-Q) .... ekvivalence

makro Alt-1 .... index 1
makro Alt-2 .... index 2
makro Alt-3 .... exponent 2
makro Alt-k .... index k
makro Alt-n .... index n
makro Alt-9 .... minul znak nastaven jako exponent
makro Alt-0 .... minul znak nastaven jako index

                         seln soustavy
                         
sla lze obecn vyjdit jako posloupnost symbol - slic. Hodnotu sla
pedstavuje souet nsobk slic vynsobench selnm zkladem soustavy
umocnnm dem slice. d slice pedstavuje poadov slo slice v sle.
Posledn slice v sle m pitom d 0, kad pedchzejc slice (smrem
vlevo) m d o 1 vy.

Nap. slo 63025 lze v dekadick soustav (zkladem soustavy slo 10) vyjdit:

63025  =  60000 + 3000 + 000 + 20 + 5  =  6*10^4 + 3*10^3 + 0*10^2 + 2^10^1 + 5*10^0


Destkov (arabsk) soustava:
----------------------------
Pouv 10 zkladnch slic:  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Jedn se o nejpouvanj selnou soustavu.

Jednotliv slice v sle vyjaduj mocniny se zkladem 10.
Nap. slo 38 lze rozloit jako     38 = 3*10^1 + 8*10^0


nzvy selnch d:

deset ................................ 10^1  (= 10)
sto .................................. 10^2  (= 100)
tisc ................................ 10^3  (= 1000)
milion ............................... 10^6  (= 1 000 000)
miliarda ............................. 10^9  (= 1 000 000 000)
bilion (tj. milion na druhou) ........ 10^12 (= 1 000 000 000 000)
trilion (tj. milion na tet) ........ 10^18 (= 1 000 000 000 000 000 000)
kvadrilion (tj. milion na tvrtou) ... 10^24 (= 1 000 000 000 000 000 000 000 000)
kvintilion (tj. milion na ptou) ..... 10^30 (= 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000)
.... atd.

Dvojkov (binrn) soustava:
---------------------------
Pouv 2 zkladn slice:  0 1
Tato seln soustava se pouv pedevm jako vnitn kd pota.

Jednotliv slice v sle vyjaduj mocniny se zkladem 2.

Nap. slo 38 lze rozloit:

38 = 1*2^5 + 0*2^4 + 0*2^3 + 1*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0 = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 0

slo 38 lze tedy zapsat pomoc dvojkov soustavy:  38(10) = 100110(2)


estnctkov (hexadecimln) soustava:
-------------------------------------
Pouv 16 slic (symbol):  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
estnctkov seln soustava se pouv pedevm v potaov praxi
ke snamu pouvn vnitnho dvojkovho kdu potae.


Alfanumerick soustava:
----------------------
Pouv 36 symbol:  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Alfanumerick seln soustava se pouv jen zdka a to pedevm pi kdovn
psanho textu do selnho vyjden z dvodu utajen zprvy.


msk seln soustava:
-----------------------
Pouv 7 symbol: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000
msk seln soustava je zvltnm ppadem seln soustavy. U tto soustavy
neplat pravidlo, e jednotliv slice vyjaduj hodnoty jednotlivch selnch
d. Hodnota sla se vyjd jako souet hodnot jednotlivch slic bez ohledu
na polohu slice v sle. Plat pitom pravidlo, e slice se zapisuj zleva
od nejvznamnj slice (tj. s nejvy hodnotou) smrem k slici s nejmen
hodnotou vpravo. Uvedenm slice s ni hodnotou ped slic s vy hodnotou
se hodnota ni slice odet od hodnoty nsledujc vy slice.

Pklady:     IV =  4             XL =  40            CD =  400
              IX =  9           LXXX =  80            DC =  600
             XIV = 14             XC =  90            CM =  900
           XVIII = 18            CII = 102            MI = 1001
             XIX = 19            CCC = 300       MCMLXIX = 1969



Nap. letopoet 1969 lze zapsat jako  MCMLXIX.


                          Druhy poetnch kon
                          

1. stupe       stn         2       +           7         =         9
                            stanec   plus     stanec   rovn se   souet

                odtn        8       -           3         =         5
                            menenec  mnus     menitel   rovn se   rozdl

2. stupe       nsoben        4       x           7         =         28
                            initel   krt       initel    rovn se   souin
                   Namsto znamnka "x" (krt) lze pst t znak ".".
                   Pi zpisu na potai se pouv znak "*".

                dlen         18       :          6          =          3
                            dlenec   dleno    dlitel     rovn se   podl
                   Namsto znamnka ":" (dleno) lze pi zpisu na potai
                   pout znak "/".

                                exponent
3. stupe      umocovn      5^3                         =            125
                            zklad (mocnnec)          rovn se     hodnota mocniny
                   Pi zpisu na potai lze pout znamnka "^".

                          odmocnitel
               odmocovn     3125                       =              5
                            zklad (odmocnnec)        rovn se     hodnota odmocniny




                             Rozdlen sel
                             
Ŀ
          cel sla          
(pirozen)                   
 kladn      nula  zporn  
  3;  5       0     -4;  -7 

                
Ŀ            Ŀ
       racionln sla                          iracionln sla      
                                                                        
   3; -6;  2/5;  -0,7;  0                     3;  ;  -log 5           
            
                                                              
                
                
Ŀ             Ŀ
    reln sla                              imaginrn sla           
                                                                         
  5;  -0,5;  ;  -log 7                       3i;  -2i; -8i;  4i        
             
                                                               
                
                                        
                 Ŀ
                            komplexn sla                
                                                           
                   3 + 2i;  -4 + 2i;  -3;  2,14;  1/3;   
                 

Zlomky - dostvme je pi dlen celch sel (nap. 3:5 = 3/5 = 0,6).
         Jmenovatel zlomku mus bt rzn od nuly.

Iracionln sla jsou sla, kter nelze vyjdit konenm poet slic.
Dostvme je pi odmocovn a logaritmovn nkterch nezpornch sel.
(nap. x^3 = 5;   x = 35 = 1,70997595....).


Imaginrn sla - pro imaginrn jednotku i plat, e i^2 = -1 (nap.
-3 = +- i3)


                             Dlitelnost sel
                             
Pirozen slo je dliteln slem:

2 - je-li toto slo sud (posledn slice dliteln 2):  6, 200, 1278, 31432
3 - je-li souet slic dliteln 3: 4041 (souet 9), 19002 (souet 12)
4 - je-li posledn dvojsl dliteln 4: 2216, 3008, 7300
5 - je-li na poslednm mst slice 5 nebo 0: 1265, 330, 14775
6 - je-li slo souasn dliteln 2 i 3: 323112 (souet 12), 24 (souet 6)
8 - je-li posledn trojsl dliteln 8: 3104, 15064, 45000
9 - je-li souet slic dliteln 9: 8037 (souet 18), 141021 (souet 9)
10 - je-li na poslednm mst slice 0: 60, 5130, 72700
25 - je-li posledn dvojsl dliteln 25: 300, 225, 70075
100 - jsou-li posledn dv slice nuly: 1200, 236300, 500


                             Zaokrouhlovn sel
                             
0, 1, 2, 3, 4  - zaokrouhlujeme dol (5,4  5; 26,21  26,2; 14  10)
5, 6, 7, 8, 9  - zaokrouhlujeme nahoru (5,7  6; 26,28  26,3; 136  140)

Nkdy se slice 5 zaokrouhluje na sud slo. Pechz-li ped slic 5
sud slo, zaokrouhl se dol. Pedchz-li lich slo, zaokrouhl se nahoru.


                       Zkladn zkony aritmetiky
                       
Komutativn zkon (zamovn)
    3 + 7 = 7 + 3                    a + b = b + a
    4 . 6 = 6 . 4                    a . b = b . a

Asociativn zkon (sdruovn)
    (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)        (a + b) + c = a + (b + c)
    (2 . 3) . 4 = 2 . (3 . 4)        (a . b) . c = a . (b . c)

Distributivn zkon (roznsoben soutu)
    2 . (3 + 4) = 2.3 + 2.4          a(b + c) = ab + ac


                   Zkladn poetn kony s slem 0
                   
Stn a odtn
    4 + 0 = 0 + 4 = 4                a + 0 = 0 + a = a
    5 - 0 = 5                        a - 0 = a
    0 - 3 = -3                       0 - a = -a
    0 + 0 = 0                        0 - 0 = 0

Nsoben
    3.0 = 0.3 = 0                    a.0 = 0.a = 0
                                     0.0 = 0

Dlen
    0:3 = 0                          0:a = 0   kde a =/ 0 (rzn od)


                   Pravidla o znamncch
                   
Vynt spolenho initele
    5x + 3x = (5 + 3)x            +- ax +- bx = +- (a + b)x
    5x - 3x = (5 - 3)x            +- ax -+ bx = +- (a - b)x

Odstrann zvorky
    4 + (2 + 3 - 5) = 4 + 2 + 3 - 5    a + (b + c - d) = a + b + c - d
    4 - (2 + 3 - 5) = 4 - 2 - 3 + 5    a - (b + c - d) = a - b - c + d

Nsoben
    (+4).(+2) = (-4).(-2) = +(4.2)    (+a).(+b) = (-a).(-b) = +ab
    (+4).(-2) = (-4).(+2) = -(4.2)    (+a).(-b) = (-a).(+b) = -ab
 Ŀ          Ŀ
   + . + = +              + . - = -  
   - . - = +              - . + = -  
           

Dlen
    +4     -4       4                +a     -a       a
   ---- = ---- = + ---              ---- = ---- = + ---
    +2     -2       2                +b     -b       b

    -4     +4       4                -a     +a       a
   ---- = ---- = - ---              ---- = ---- = - ---
    +2     -2       2                +b     -b       b
 Ŀ          Ŀ
   + : + = +              + : - = -  
   - : - = +              - : + = -  
           

Nerovnosti
    Je-li a>b (napr. a=4, b=2, c=3, d=-3), potom
    plat:    b < a:     a +- c > b +- c;            -a < -b
              2 < 4:     4 +- 3 > 2 +- 3;            -4 < -2

                                                    a     b
    pro       c > 0:     ac > bc;                  --- > ---
                                                    c     c

                                                    4     2
              3 > 0:     4.3 > 2.3;                --- > ---
                                                    3     3
Poznmka: Je-li a<b, mn se znamnko nerovnosti > ve vech vzorcch na <.

                                                    a     b
    pro       d < 0:      ad < bd;                 --- < ---
                                                    d     d

                                                    4      2
              -3 < 0:    4.(-3) < 2.(-3)          ---- < ----
                                                   -3     -3

                                     1     1
    Je-li ab>0:  (a > b), plat:    --- < ---
                                     a     b

    Je-li a > b > 1 a n > 0, potom plat:  a^n > b^n



Absolutn hodnota - zpis |a|

    pi a >= 0 plat:   |a| = +a       pi a < 0 plat:  |a| = -a
                        |4| = +4                         |-4| = 4

    |a+-b| <= |a| + |b|                |ab| = |a|.|b|
    |4+-2| <= |4| + |2|                |4.2| = |4|.|2|

                                       |  a  |    |a|
    |a+-b| >= |a| - |b|                | --- | = -----
                                       |  b  |    |b|

                                       |  4  |    |4|
    |4+-2| >= |4| - |2|                | --- | = -----
                                       |  2  |    |2|


                              Zlomky
                              
Zkladn pravidlo: hodnota zlomku se nemn, jeslie nsobme (dlme) itatele
                   i jmenovatele stejnm slem rznm od nuly.


Roziovn zlomku:

    4     4 . 3      4         4 +- 2.3         a     a.c     a         a +- b.c
   --- = ------- ;  --- +- 3 = --------        --- = ----- ; --- +- c = --------
    2     2 . 3      2             2            b     b.c     b            b

Krcen zlomku:


                    Ŀ
                     Matematick logika 
                    

Matematick logika pojednv o zkonech a formch spojovn poznatk k dosaen
poznatk dalch.

                            Vrok, vrokov funkce
                            

Jazyk (vyjadovac soustava) - jakkoliv soustava tvar, kter maj urit
vznam a pro jejich spojovn ve sloitj tvary jsou dna urit pravidla.

Znaky (symboly) - nejmen stavebn prvky jazyka, kter maj jet vznam
Rozdlen znak:  - konstanty: znaky oznaujc urit pedmty, vztahy,
                               tdy, pesn vymezenho vznamu
                  - promnn: symboly, za kter lze dosadit konstanty podle
                              uritch pravidel
                   Obor promnnosti - soubor konstant, kter lze dosadit za
                                      uritou promnnou

Vraz - kad jazykov tvar majc vznam

Sloen vrazy - vrazy vytvoen z st, kter i samy o sob maj vznam
v danm jazyku

Vrok - vraz ve tvaru oznamovac vty, u nho m smysl otzka, zda je
pravdiv nebo nepravdiv, piem vdy existuje jednoznan odpov na tuto
otzku

Pklady vrok:   slo 4 je lich slo. (nepravdiv vrok)
                   7 < 11  (pravdiv vrok)

Pklady vraz, kter nejsou vroky:
                   x + y = 0 (nejsou znmy hodnoty x a y, nelze urit pravdivost)
                   slo 8 je zelen. (nen znm vztah mezi barvou a slem)

Vrokov funkce: vraz  obsahujc  promnn, kter se stane vrokem, jestlie
                 za promnn dosadme konstanty.

Obor vrokov funkce: Soubor  vech uspodanch n-tic [a1; ... ; an] konstant
                      ak  takovch,  e  po  dosazen  vech  ak za pslunou
                      promnnou  xk,  k=1,2,...,n  vznikne  z  vrokov funkce
                      vrok.

Pklad:"Pro  reln  sla  x1,  x2  plat x1 2  + x2 2  = 4" je vrokov funkce
         obsahujc  dv  promnn  x1,  x2.  Dosazenm  kterkoliv uspodan
         dvojice  relnch  konstant,  nap.  [2;  7] za dvojici [x1; x2], tj.
         dosazenm x1=2, x2=7, pejde dan vrokov funkce ve vrok 4 + 49 = 4
         (kter nen pravdiv).

Obor  pravdivosti  vrokov  funkce  o  promnnch  x1, ..., xn: Ta st oboru
vrokov funkce, kter vede ke vzniku pravdivho vroku.

Pklad:Obor  pravdivosti  vrokov  funkce  z pedchozho pkladu je souhrn
vech  uspodanch  dvojic  [x1; x2], jejich grafick znzornn v kartzsk
soustav souadnic vytvej body na krunici se stedem v potku a polomrem
2.

                             Kvantifikovan vrok
                             
Kvantifikovan vrok:vrokov  funkce  udvajc  poet  (mnostv, kvantitu)
                      nebo  jist odhad potu objekt, pro n vrokov funkce
                      pejde v pravdiv vrok.

Kvantifiktor:Vraz  udvajc  poet  nebo odhad potu objekt z pedchozho
               hesla

Pklad: Kvantitativn vrok: Kad z ns ml alespo dv zavazadla.
         Kvantifiktory: "Kad", "aspo dv"

Obecn  kvantifiktor:  "pro kad prvek (z danho potu) plat", "pro vechny
prvky (z danho souboru) plat". Symbol V (= obrcen A = V s pekrtnutm)

Obecn vrok:Pro vechna x  M plat V(x) (V(x) je vrokov funkce, M je st
              oboru promnnosti vrokov funkce). Symbolick zpis:
                         V x  M : V(x)

Existenn kvantifiktor: "existuje prvek (z danho souboru), e plat".
            Symbol E (obrcen E).

Existenn vrok: Existuje x  M, e plat V(x). Symbolicky E x  M: V(x)

Symbolem  E!  vyjadujeme  kvantifiktor "existuje prv jeden prvek (z danho
souboru), e plat)"

Pklady:  1.V x   R: (x - 3) 2  = x 2  - 6x + 9 teme: pro vechna x z mnoiny
              relnch  sel  plat  rovnost  (x  -  3) 2  = x 2  - 6x + 9. Jde o
              pravdiv vrok.
           2.E  x   R: cos 2x > 3 teme: existuje slo x z mnoiny relnch
              sel,  e  plat  nerovnost  cos  2x  >  3.  Jde  o  nepravdiv
              existenn vrok.
           3.E!  x   R: x 2  = 4 teme: existuje prv jedno slo x z mnoiny
              relnch  sel,  e  plat  rovnost  x 2   =  4. Jde o nepravdiv
              existenn vrok.

Je-li V funkc o vce promnnch, me, ale nemus bt kvantifikovan funkce V
vrokem.  Je  jm  (nen  jm  a  zstv funkc), obsahuje-li (neobsahuje-li)
kvantifiktor vechny promnn. Neobsahuje-li vechny, pak
         vzan promnn je ta, je je vzna kvantifiktorem
         voln promnn je ta, je nen vzna kvantifiktorem

Pklady: 1.V x  R, y  R: (x + y) 2  = x 2  + 2xy + y 2  je pravdiv obecn vrok
          2.E x  R : x + y > 0 je vrokov funkce; x je vzan promnn, y
             je voln promnn.

                                Logick funkce
                                

Pravdivostn hodnoty vrok:
    pravdivost (oznaen 1 nebo P), jestlie vrok je pravdiv
    nepravdivost (oznaen 0 nebo N), jeslie vrok je nepravdiv
    Vzjemn  nezvisl  vroky  v1,  ... , vn. Pravdivostn hodnota vroku vi
nezvis na pravdivostn hodnot vroku vk; i=1,..., n; i  k.

    Logick  spojka (tak vrokotvorn funktor): vraz, jeho pedazenm ped
vrok nebo vloenm mezi vroky dostaneme nov vrok

    Logick operace: Vytvoen vroku uitm logickch spojek
    Vrokov  poet:  disciplna,  kter zkoum vlastnosti logickch operac z
hlediska pravdivosti zastnnch vrok
                                                         _
    Zkladn logick operace jsou: negace vroku (v', non v, v, ~v); konjunkce
(v1  v2, v1 . v2, v1 & v2), disjunkce (v1  v2, v1 + v2, v1  v2), implikace
(v1  v2, v1 -> v2), ekvivalence (v1  v2, v1 <-> v2) dvou vrok.

V  implikaci  v1   v2 nazvme v1 pedpokladem, v2 zvrem. teme ji tak "v1
implikuje v2", "z vroku v1 plyne vrok v2".

Ekvivalenci v1  v2 teme tak "v1 plat tehdy a jen tehdy, kdy plat v2".

Definin   tabulka  pravdivostnch  hodnot  vrok  se  zkladnmi  logickmi
operacemi:
  Ŀ Ŀ
   v  v'    v1   v2   v1  v2  v1  v2  v1  v2  v1  v2  v1  v2 
  Ĵ Ĵ
   1  0     0    0       0        0        0        1        1    
   0  1     0    1       0        1        1        1        0    
     1    0       0        1        1        0        0    
               1    1       1        1        0        1        1    
             

Negace  vroku:  pravdiv  hodnota  vroku  se  negac  zmn  na nepravdivou,
nepravdiv hodnota se zmn na pravdivou.

Konjunkce  dvou  vrok:  vrok je pravdiv pouze v ppad, e jsou oba dl
vroky pravdiv.

Disjunkce




                         eck abeceda
Ŀ
  A    alfa          I     jota          P     r         
  B    beta          K     kapa              sigma      
       gama                lambda        T    tau        
       delta         M    m            Y     ypsilon    
  E     epsilon       N     n                 f         
  Z     dzeta               ks           X     ch        
  H     ta           O  o  omikron             ps        
       thta              p                 omega      

